自己都合により、会社を辞めることになりました。

自己都合により、会社を辞めることになりました。この場合、失業保険の給付を受けることは出来るのでしょうか？

ハローワークの方からは、残業を45時間以上していたという証明ができれば受けられるとアドバイスをいただいたのですが、タイムシートを会社ではつけていませんでした。

何か給付を受ける為の方法はありませんでしょうか。お詳しい方、教えて下さい。

自己都合退職でも雇用保険被保険者期間が１２ヶ月以上あれば、受給は可能です。

・離職の直前3か月間に連続して労働基準法に基づき定める基準に規定する時間（各月45時間）を超える時間外労働が行われたため、又は事業主が危険若しくは健康障害の生ずるおそれがある旨を行政機関から指摘されたにもかかわらず、事業所において当該危険若しくは健康障害を防止するために必要な措置を講じなかったため離職した者

上記の事が証明されるタイムカード、勤務表、日報、給与明細等があれば、特定受給資格者として認定される事もあります。
特定受給資格者の場合には６ヶ月以上の雇用保険被保険者期間でも受給可能になります。

※質問者さんの雇用保険被保険者期間は何ヶ月？

離職してから失業保険の受給手続きをしていない状態でハローワークの求人で面接を受けて仮採用で３、４日勤務した場合、失業保険の受給資格は消滅してしまいますか？

消滅はしません。

受給手続をしていない状態というのは、離職票を持ってハローワーク（求職の申込み）にいっていないということでしょうか？
そうであるなら、その離職票の資格喪失日（退職日の翌日）から1年間は有効です。
ただし、ハローワークい離職票を持っていってから、7日（待期期間）＋3ヶ月（自己都合の場合、給付制限期間）を経過しないと原則としては、給付されません。

また、離職票をもって手続はされているのであれば、失業認定日に行って、働いた日をチェックすればいいだけです。
もし就職の届けを提出したのであれば、退職したという報告をする必要があります。
3,4日で辞めたということは、離職証明書を書いてもらいにくいと思いますので、ハローワークで一筆書くことにはなります。

個別の事情によって手続が違うので、ハローワークに聞いた方がはやいです。

離職票について教えてください。
派遣会社に登録し、短期の仕事で２ヶ月半派遣社員として働きました。

契約満了後に派遣会社から離職票が届いたのですが、これは雇用保険に入っていましたよ、という証明のために届くものなのでしょうか？
失業手当が貰えるほどの日数は働いていないので、なぜ送られてきたのか、この書類をどうしたらよいのかよくわかりません。

間を1年開けずにまた雇用保険に入れる職につけた場合、積むことができるんですよ。
短期でも雇用保険に入ってた期間が合算されたまれば失業保険がもらえるようになります。
2ヶ月半＋1ヶ月＋3ヶ月＋…みたいな感じ。
その時に色んなところで働いた離職票をかき集めてハローワークに持っていくんです。
間が1年以上空くと、その2ヶ月半はチャラになり0からスタートになります。

※
そう言う事です。
離職日から1年以内なら積み立てられます。
ちりも積もれば山となる、です。
捨てずに大事に保管しといてください。
詳しい事が知りたければハローワークに行けば教えてくれますよ。